研究了二阶非线性(\overline{u}^2\)非线性Schr?dinger方程(NLS)在一维环面和二维环面上的低正则局部适定性。当正则性s低于某个阈值时，已知关于\(X^{s, b}\)-空间的相关双线性估计是失败的，我们通过在\(X^{s, b}\)-空间上引入修改来建立这种低正则性的局部适定性。
本文考虑周期域上二次非线性Schr?dinger方程(NLS)的Cauchy问题:
(1.1)
在哪里或在哪里。
我们的主要目标是在周期域上建立二次型NLS(1.1)的低正则局部适定性。为了便于指导，我们首先提供一些关于二次型NLS的背景知识
(1.2)
其中可以是，，或。注意，如果u是(1.2)的解，那么它也是任意的(1.2)的解。这种标度对称性推导出以下标度临界Sobolev正则性:
当，标度临界规则为负，往往不能预测适位性和病态性问题。在本文中，我们主要关注的是当和。
现在让我们回顾一下以前关于二次型NLS(1.2)的一些结果，从实线的情况开始。在[16]中，Kenig-Ponce-Vega使用Bourgain空间(见2.2节)证明了(1.2)on对于所有类型的非线性、、和的局部适定性。具体来说，他们建立了以下双线性估计:
(1.3) (1.4)
for和and
(1.5)
For和。此外，在同一篇论文中，他们表明(1.3)和(1.4)不及格，(1.5)不及格。这些双线性估计在端点规律处的失效已在[25]中得到证实。尽管双线性估计(1.3)不成立，Bejenaru-Tao[2]通过引入加权函数空间，证明了(1.2)on的局部适定性。此外，它们还证明了同一方程的不适定性。后来，Kishimoto[17]在使用不同加权函数空间时证明了(1.2)的局部适定性。他还证明了相同方程的不适定性。关于(1.2)on with, Kishimoto[18]显示了局部的适位性和不适位性(参见[22])。参见[13,14,21]，在相同的s范围内得到更强的不适定性结果。为方便起见，我们将这些结果总结在表1中。请注意，对于所有这些非线性，和，适位性和病态性的结果是明显的。此外，对于所有这些非线性，在s达到标度临界正则性(1.2)之前，不适定性就发生了。
表1和上的二次NLS已知结果
全尺寸工作台
让我们也提一下(1.2)on的适位性和不适位性结果，再次总结在表1中。[5,30]中建立了-双线性估计(1.3)、(1.4)和(1.5)。在[5,25]中显示，对于较低的s值，这些-双线性估计是失败的。关于(1.2)on的局部适定性，见[1,18,21]。关于(1.2)on的不适，见[13,14,21]。从表1中，我们注意到，在s达到标度临界正则性之前，出现了for的病态性。此外，我们可以看到，所有的姿势好和姿势不好的结果是尖锐的。
现在我们将注意力转向(1.2)在周期域和上的适位性和病态性结果。结果总结在表2中。On，对于所有非线性，，和，的-双线性估计(1.3)，(1.4)和(1.5)直接来自-Strichartz估计，该估计是通过插值(见[3,32])上的-Strichartz估计和平凡界得到的。在[16]中，Kenig-Ponce-Vega对和建立了双线性估计(1.3)(for)和(1.4)(for)，并给出了相应的局部适定性结果。他们还表明(1.3)和(1.4)在何时失败，(1.5)(for)在何时失败。后来，Kishimoto[21]对表2所示的规则范围的所有类型的非线性均表现出(1.2)on的病态性。在这里，我们注意到非线性和非线性的局部适定性和病态性结果之间存在差距。此外，非线性的二次NLS(1.2)在on的表现比on差，因为不适定性在s的范围比在on的范围更大。
对于具有所有非线性的(1.2)，，和，的-双线性估计(1.3)，(1.4)和(1.5)是从具有导数损失的-Strichartz估计推导出来的，该估计是通过插值上的-Strichartz估计(见引理2.4)和平凡界得到的。gr
nrock在[9]中给出了双线性估计(1.4)(for)，并证明了相应的局部适定性结果。在同一篇论文中，他展示了(1.3)(for)在何时失效，(1.4)(for)在何时失效。在[21]中，Kishimoto对表2所示正则范围的所有类型的非线性均表现出(1.2)on的病态性。在最近的工作中，Oh和作者[23]通过建立相应的-双线性估计，证明了(1.2)的非线性和为的局部适定性。
表2和上二次NLS的当前结果
全尺寸工作台
本文还研究了二次型NLS(1.2)的长时态。关于全局存在和散射结果，参见[7,8,11,15,24,28]。对于非平凡散射解的不存在性，参见[27,29]。有限时间爆破结果见[12,26]。
由表2可以看出，对于非线性的二次型NLS，局部适定性是完全的，而对于非线性和的二次型NLS，局部适定性和不适定性结果之间存在差距。这三种非线性的适位性行为的差异与其相函数的不同密切相关。设为非线性的频率，n为对偶项的频率，我们可以写出这三种非线性的频率相互作用和相函数，如表3所示。
当相函数较大时，我们期望有一定的规律性增益。例如，对于非线性，相位函数提供了导数的增益，因此可以用非常粗糙的初始数据建立非线性的局部适定性。另一方面，在非线性情况下，如果两者几乎相互垂直，相函数可能很小，使得粗糙初始数据的局部适定性很难实现。本文主要通过建立具有较低正则性的局部适定性来缩小非线性的适定性间隙。我们还将在下面的注释1.6中讨论非线性的一些适定性问题。
表3二次NLS的频率相互作用和相位函数线性，，和
全尺寸工作台
现在我们回顾和上的二次NLS(1.1)的低正则局部适定性。在本文中，我们证明了以下定理。
让或。然后，二次型NLS(1.1)是局部适定的。更准确地说，给定任意，(1.1)存在且有唯一解，且解u连续依赖于初始数据。
由于(1.1)的局部适定性已经在[16]和[9]中得到了体现，所以我们主要关注的是。我们的定理1.1的证明依赖于解的修正-空间，因此上述陈述的唯一性只在相关函数空间中成立(参见(2.4)中的-范数及其在(2.6)中的局部时间版本)。对于定理1.1的证明，我们将主要关注这种情况(见注释1.2)。证明定理1.1的思想是在-空间上引入修正，使我们能够证明相应的双线性估计。有关它的更多讨论，请参见第1.2节。
定理1.1改进了文献[9,16]中先前的局部适定性结果。此外，据作者所知，这是二次型NLS在低于正则性阈值的周期域上的第一个局部适定性结果，通常的双线性估计是失败的。我们还注意到，在我们的方法中，边界是尖锐的(直到端点正则性)。参见1.2节了解更多细节。
在定理1.1中，为的证明是由为的证明而来的，只是做了一些小小的修改。因此，在证明定理1.1中，我们主要将注意力限制在情况上。
在本小节中，我们简要解释证明定理1.1的策略。
在[2]中，Bejenaru-Tao将二次型NLS(1.2)的适定性问题简化为寻找满足以下性质的时空范数:
(i)(单调性)如果逐点，则
(1.6)
这里是f的时空傅里叶变换。
(ii)(-能量估计)以下不等式成立:
(1.7)
在哪里。
(iii)(齐次线性估计)存在这样的情况
(1.8)
其中-norm在(2.1)中定义。
(双线性估计)下列不等式成立:
(1.9)
在傅里叶这边是相同的范数它等于(if) (if)或(if)在这里,。
现在的任务是找到满足上面列出的属性的合适的函数空间。从现在开始，我们将注意力集中在非线性和定义域上。正如我们在前一小节中所看到的，通常的双线性估计在正则性非常低时失败。这种失败是由某些“危险”的相互作用引起的。因此，我们需要在-空间上引入修改，以减少这些“危险”相互作用的影响。在下文中，我们将讨论此类交互的几个示例以及处理它们的策略。
对于较大的数，令
在哪里。请注意。直接计算得到
就这样。因此，双线性估计(1.4)仅在或的情况下成立。既然我们需要，我们就要求。
在上例中，频率相互作用是“高-高到低”，调制相互作用是“低-低到高”。然而，调制对于期望的双线性估计是不够高的。为了控制上述相互作用，我们考虑以下由Kishimoto[19]引入的规范:
我们通过范数来定义空间
需要-范数中的-项来确保-范数满足-能量估计(1.7)。不难看出-范数满足单调性(1.6)、-能量估计(1.7)和齐次线性估计(1.8)。注意，for和if，那么我们有
如果，那么我们有
在第2.3节中，我们将重新讨论这个规范，为了实际目的，我们将以更精确的方式定义它。
在例1中，由于的高调制，的-范数(即傅里叶侧的-范数)足够小，可以获得所需的双线性估计(1.9)。可以很容易地检查使用-范数，上面例子的双线性估计适用于。这比只要。
让我们看另一个使用-范数的例子，假设。
对于较大的数，令
直接计算得到
注意，在本例中，频率相互作用是“高-高到低”，调制相互作用是“低-高到低”。我们可以计算它们对应的-范数如下:
因此，带的双线性估计(1.9)仅在或的情况下成立。
结合例1和例2，我们注意到规则s需要满足和。当这两个下界变得最优时，这似乎是双线性估计(1.9)的阈值。事实上，我们将在第3节中说明，双线性估计(1.9)在以下情况下成立(关于轻微丧失规律性的讨论见第1.4节)。详见第3节。
我们以几句话来结束这次介绍。
在此基础上，如果可以首先获得小数据的局部适定性，则可以使用缩放论证来证明大初始数据的局部适定性。参见[6]。然而，我们在本文中不追求尺度论点，而是依靠时间局部化(引理2.3)来证明大型初始数据的局部适定性。
在[2,17]中，在构造期望函数空间时考虑了Besov细化，以便可以处理端点正则性(即，对于具有或的二次NLS(1.2))。在Korteweg-de Vris方程中，[10,20]使用了类似的Besov改进。
然而，对于二次型NLS(1.1)，这样的Besov修正似乎不足以覆盖当的情况。这主要是由于我们的方法严重依赖于-Strichartz估计(见引理2.4)，它有导数损失。
对于二次NLS (1.1) on，由于-Strichartz估计(参见[3])没有任何导数损失，因此似乎有可能将Besov修改用于我们的估计，以便可以包括端点情况。
对于和上的二次NLS(1.1)，局部适定性结果与病态性结果之间仍然存在差距(见表2)。具体而言，在和上，(1.1)的适定性问题仍未解决;关于(1.1)的适当性问题仍未解决。改进局部适定性论证的一个可能策略是在欧几里得空间中引入加权空间，如[1,2,17,19]所示。
让我们考虑二次NLS(1.2)。我们知道，局部适位性是成立的，不适位性是成立的。我们认为，使用修正函数空间的方法应该能够产生更好的局部适定性结果，但可能需要使用[1,2]中的加权空间来处理相应的双线性估计。
对于带on的二次型NLS(1.2)，已知局部适定性为，不适定性为。然而，在1.2节开头所说明的寻找修改函数空间的方法似乎不太可能在这个范围内起作用。这是由于[9]中的以下示例。对于较大的数，令
在哪里和。直接计算得到
在这个例子中，频率相互作用是“高-高到高”，调制相互作用是“低-低到低”，这意味着似乎没有办法利用调制来改善双线性估计。注意，这种“低-低到低”的相互作用不会发生在非线性中，这可以从下面引理3.2的子情形2.3和下面引理3.3的情形3开始的计算中看出。
对于任意和，我们都有
范数是傅里叶那边的范数。因此，我们观察到，由于、、和的齐次线性估计(1.8)和相似的结构，任何合格的修正范数都应以相同的速率(相对于N)降低、、和的相应范数
范数是傅里叶那边的范数。那么，为了使双线性估计(1.9)成立，我们必须有
所以。因此，我们不期望寻找-范数证明局部适定性的方法适用于具有on的二次型NLS(1.2)，并且可能在此范围内存在一些不适定性结果。
在本节中，我们将介绍一些符号和函数空间，使我们能够证明(1.1)在低正则性设置下的局部适定性。
在本文中，我们去掉了无关紧要的因素。对于时空分布u，我们用or来表示u的时空傅里叶变换。如果一个函数只有一个空间(或时间)变量，那么我们用or来表示关于空间(或时间)变量的傅里叶变换。对于任意函数f，该函数是f的反射，即。我们也设置。
我们用来表示某个常数。如果有，我们就写。我们可以使用下标来表示对外部参数的依赖性。我们也用and分别表示和，表示足够小。
给定一个二进数，如果，我们让空间频率投影到频率上
如果，我们让空间频率投影到频率上
对于时空分布u，我们也为了简单而写。
在这一小节中，我们回顾了Schr?dinger方程的-空间的定义和估计，这些方程最初是由Bourgain[3]引入的。给定，我们将空间定义为在空间上是光滑的，在时间上是Schwartz的函数关于以下范数的补全:
(2.1)
我们现在提出并回顾一些与-范数相关的估计，从-范数的通常齐次线性估计的以下更强版本开始，如[3,31]。
让一个平滑的函数支持。设，，和。然后，我们有
(2.2)
注意这个事实，我们有
根据需要。
事实上，估算值(2.2)适用于所有人。然而，对于我们的局部适定性结果的证明，我们只需要估计(2.2)。
接下来，我们回顾下面的时间定位估计。关于证明，参见[3,31]。
设，，和。设为Schwartz函数。然后，我们有
我们还记录了以下-Strichartz估计。有关证明，请参见[3,4]。
设N为二进数。然后，我们有
在哪里和。
在本小节中，我们定义了低正则性条件下二次型NLS(1.1)的解空间，并建立了相应的线性估计。
给定，我们将空间定义为函数的补全，这些函数在空间上是光滑的，在时间上是Schwartz的
(2.3)
这种修改的想法来自Kishimoto[19]。
我们现在通过范数来定义空间
(2.4)
其中是投射到频率上的时空频率投影是投射到频率上的时空频率投影。由定义可知-范数具有单调性:如果点向，则
(2.5)
对于，我们将空间定义为-空间通过范数对时间区间的限制:
(2.6)
注意-space是完整的。
为了方便和简洁，稍后我们可以使用符号，和来表示傅里叶侧对应的范数。换句话说，对于一个复值函数f，定义为
这里是傅里叶反变换。
我们现在建立了-范数的一些线性估计。我们从下面的能量估计开始。
让和。然后，我们有
根据(2.4)中-范数的定义，我们知道它足以表示以下两个估计:
(2.7) (2.8)
由于，我们使用Cauchy-Schwarz不等式来得到
得到(2.7)。此外，请注意(2.8)很容易从(2.3)中-norm的定义中获得。
上述引理暗示了以下嵌入结果。
设，，和。然后，我们有
因此，嵌入
成立。
设v是u在这样的范围之外的扩展
(2.9)
注意，我们有以下嵌入
(2.10)
因此，由式(2.10)、引理2.5和式(2.9)，我们得到
所以期望的估计值可以是任意小的。
最后，我们给出了以下引理，它表明-空间嵌入在-空间中。
让和。然后，我们有
我们回想一下(2.4)
把时空频率投射到。注意，我们有
对于这一项，注意根据柯西-施瓦茨不等式，我们有
自。此外，我们还有
这样，我们得到了那个，这样我们就得到了我们想要的不等式。
摘要
1 介绍
2 符号与函数空间
3.双线性估计
4 二次型NLS的局部适定性
数据和材料的可用性
笔记
参考文献
致谢
作者信息
道德声明
搜索
导航
#####
在本节中，我们建立了关于上一节中介绍的-范数的关键双线性估计。具体来说，我们展示了以下命题。
让和。设为一个光滑的函数，使得。然后，我们有
对一些人来说。
让我们首先考虑命题3.1的两个特殊情况。我们从下面的“高低交互作用”估计开始。
让和。设N为二进数。设为一个光滑的函数，使得。
(i)如果和，我们有
对一些人来说。
(ii)如果和，我们有
对一些人来说。
由u和v的对称性，足以证明(i)。下面我们用作为或的变量和作为或的变量。注意我们有和的关系。我们也回想一下符号。
根据调制函数和之间的关系，我们将论证分为两种主要情况。
情况1。
在这种情况下，我们需要用-范数计算项，我们需要计算项和项。我们考虑以下三个子案例。
子案例1.1。
在这种情况下，我们需要使用-范数进行估计。由Young的卷积不等式，引理2.3,Cauchy-Schwarz不等式，引理2.5，我们得到
(3.1)
这里是任意小的。由于给定，如果给定且足够小，则上述估计是可以接受的。
同样，根据Cauchy-Schwarz不等式，我们得到
这可以用(3.1)的方法来估计。结合上述两个估计，我们得到了期望的不等式。
子案例1.2。
在这种情况下，我们需要使用-范数进行估计。由Young的卷积不等式，Cauchy-Schwarz不等式，引理2.3，和引理2.5，我们得到
(3.2)
这里是任意小的。由于给定，如果给定且足够小，则上述估计是可以接受的。
同样，根据Cauchy-Schwarz不等式，我们得到
这可以用(3.2)的方法来估计。结合上述两个估计，我们得到了期望的不等式。
子案例1.3和。
在这种情况下，我们需要估计两者，并使用-范数。利用Plancherel定理支持的事实，H?lder不等式，引理2.4，引理2.3，我们得到
(3.3)
这里是任意小的。因此，在给定且足够小的情况下，上述估计是可以接受的。
同样，根据Cauchy-Schwarz不等式，我们得到
这可以用(3.3)的方法来估计。结合上述两个估计，我们得到了期望的不等式。
情况2。
在这种情况下，我们需要用-范数来计算这一项。
我们假设。请注意，如果我们有which，那么意味着并且，因此估计将以类似的(并且更容易的)方式进行。
我们考虑以下三个子案例。
子案例2.1和。
在这种情况下，我们需要估计两者，并使用-范数。通过H?lder不等式，杨氏卷积不等式，以及引理2.3，我们得到
这里是任意小的。上述估计是可以接受的，如果，它是有效的给定和足够小。
子案例2.2和。
在这个子案例中，我们需要用-范数估计和用-范数估计。通过对偶和Cauchy-Schwarz不等式，我们有
(3.4)
设一个时空分布满足。然后，利用Plancherel定理支持的事实，H?lder不等式，引理2.4和引理2.3，我们有
这里是任意小的。因此，继续(3.4)，我们使用引理2.3来得到
因此，在给定且足够小的情况下，上述估计是可以接受的。
子案例2.3。
在这个子例中，我们首先注意到
注意，由于我们假设，我们有
因此，我们有
(3.5)
和。
我们需要用-范数估计用-范数估计。通过使用子例2.2中类似的步骤，通过转换和的角色以及附加条件(3.5)，我们得到
这里是任意小的。如果在给定且足够小的情况下，上述估计是可以接受的。
这样，我们就完成了证明。
现在我们显示以下的“高-高交互作用”估计。
让和。设N为二进数，满足和。设为一个光滑的函数，使得。然后，我们有
对一些人来说。
和前面引理的证明一样，我们用作为或的变量，和作为或的变量。注意我们有和的关系。此外，对N的大小的假设，并确保和。我们也回想一下符号。
我们考虑以下四种主要情况。
情况1。
在这种情况下，我们已经给出了，所以我们需要用-范数计算项，我们需要计算项和项。我们考虑以下三个子案例。
子案例1.1。
在这种情况下，我们需要使用-范数进行估计。由Young的卷积不等式，引理2.3,Cauchy-Schwarz不等式，引理2.5，我们得到
这是可以接受的，并且足够小。
同样，通过H?lder不等式，杨氏卷积不等式，引理2.3，和引理2.5，我们有
这里是任意小的。由于给定，如果给定且足够小，则上述估计是可以接受的。结合上述两个估计，我们得到了期望的不等式。
子案例1.2。
通过切换和的角色，这个子案例类似于子案例1.1，因此我们省略了细节。
子案例1.3和。
在这种情况下，我们需要估计两者，并使用-范数。利用Plancherel定理支持的事实，H?lder不等式，引理2.4，引理2.3，我们得到
这里是任意小的。如果在给定且足够小的情况下，上述估计是可以接受的。
关于规范一词，我们先让满意
注意，和都可以任意小。通过H?lder不等式，杨氏卷积不等式，两次H?lder不等式，以及引理2.3，我们得到
对一些人来说。由于给定，如果给定且足够接近于0，则上述估计是可以接受的。结合上述两个估计，我们得到了期望的不等式。
情况2，，和。
在这种情况下，我们需要估计两者，并使用-范数。我们考虑以下两个子案例。
子案例2.1。
在这个子例子中，我们需要用-范数来计算项。通过H?lder不等式，杨氏卷积不等式，以及引理2.3，我们得到
这里是任意小的。因为，我们有。因此，在给定条件下，上述估计是可以接受的。
子案例2.2。
在这个子例子中，我们需要用-范数来计算项。通过H?lder不等式，杨氏卷积不等式，以及引理2.3，我们得到
这里是任意小的。注意，第二个不等式是有效的，因为给定并且足够小。既然给定，则上述估计是可以接受的，在给定的条件下是有效的。
同样，通过柯西-施瓦茨不等式，H?lder不等式，杨氏卷积不等式，以及引理2.3，我们得到
这里是任意小的。由于给定，如果给定且足够小，则上述估计是可以接受的。结合上述两个估计，我们得到了期望的不等式。
情形3和。
在这种情况下，我们需要使用-范数进行估计。注意，我们有
就这样。因此，我们需要使用-范数进行估计。我们考虑以下两个子案例。
子案例3.1。
在这个子例子中，我们需要用-范数来计算项。通过对偶和Cauchy-Schwarz不等式，我们有
(3.6)
设一个时空分布满足。然后，利用Plancherel定理支持的事实，H?lder不等式，引理2.4和引理2.3，我们有
这里是任意小的。因此，继续(3.6)，我们使用引理2.3得到
既然，我们已经足够小了。因此，在给定且足够小的情况下，上述估计是可以接受的。
子案例3.2。
在这个子例子中，我们需要用-范数来计算项。通过对偶和Cauchy-Schwarz不等式，我们有
(3.7)
注意，第一个不等式在给定时是有效的。设一个时空分布满足。然后，利用Plancherel定理支持的事实，H?lder不等式，引理2.4和引理2.3，我们有
这里是任意小的。因此，继续(3.7)，我们使用引理2.3得到
既然，我们已经足够小了。因此，在给定且足够小的情况下，上述估计是可以接受的。
同样，根据Cauchy-Schwarz不等式，我们得到
这里是任意小的。上面的项可以用类似的方法来估计。结合上述两个估计，我们得到了期望的不等式。
情形4和。
这种情况类似于情况3，通过切换和的角色。因此我们省略了细节。
这样，我们就完成了证明。
在进一步证明命题3.1中主要的双线性估计之前，我们首先注意到，根据(2.1)和(2.3)中-范数的定义，我们有以下分解:
因此，我们可以得到关于范数的如下分解:
(3.8)
到(3.8)，我们有
(3.9)
对于式(3.9)右侧的每一个非零和，我们知道N，且必须满足下列条件之一:
1.
而且,
2.
而且,
3.
和。
我们现在分别处理上述三种情况。
情形1和。
在这种情况下，根据引理3.2,Cauchy-Schwarz不等式，和(3.8)两次，我们有
在第一个不等式的右边。
情况2和。
这种情况可以用与情况1相同的方式处理，因此我们省略了细节。
情形3和。
在这种情况下，根据引理3.3,Cauchy-Schwarz不等式，和(3.8)两次，我们有
在第一个不等式的右边。
结合以上三种情况，我们就完成了证明。
在本节中，我们给出了定理1.1，二次型NLS(1.1)在低正则性条件下的局部适定性的证明。如第1节所述，我们主要关注(1.1)的局部适定性，使用第2节和第3节中-范数的估计。
通过在Duhamel公式中写(1.1)，我们有
(4.1)
由于我们只对局部适定性感兴趣，我们可以插入时间截止函数。对于，我们设为一个光滑的函数，使得。我们首先把(4.1)右边的两个s替换为。同样，注意对于任何函数F它在空间上是光滑的在时间上是Schwartz的，我们有
其中是平滑截止函数，使得在。让我们定义以下非线性项。
(4.2)
我们考虑二阶NLS(1.1)的如下表述:
(4.3)
在本节中，我们给出了一些相关的估计来证明我们的局部适定性结果。我们首先给出如下齐次线性估计。
设，，和。然后，我们有
根据(2.6)中-范数的定义，引理2.7，和引理2.1，我们有
根据需要。
现在我们取并展示下面的双线性估计。
让和。然后，我们有
对于某些情况，其中、、和的定义见(4.2)。
证明的思想来自[3]。就像在引理2.6的证明中一样，通过u和v的外延拓，它足以证明以下三个估计:
对一些人来说。
根据引理2.7，泰勒展开，引理2.1，引理2.5，命题3.1，我们得到
对一些人来说。
对于这个项，利用引理2.7，引理2.1，引理2.5和命题3.1，我们有
对一些人来说。
对于项，由于它以1为界，并由单调性(2.5)和命题3.1支持，我们有
对一些人来说。这样，我们就完成了证明。
现在我们使用公式(4.3)和4.1节中的估计来证明我们的局部适定性结果。我们让它发生并修复它。
对于由(4.3)，引理4.1和引理4.2的集合，我们有
(4.4)
对一些人来说。同理，我们可以得到如下的差值估计:
(4.5)
因此，通过选择足够小的点，我们得到半径球的收缩。给出了定理1.1的存在性部分和球的唯一性。此外，解对初始数据的连续依赖性很容易从公式(4.3)、引理4.1、(4.4)和(4.5)中得到。
将式(1.1)解的唯一性推广到整个-空间。设u和v是(1.1)in的两个解。注意u和v满足式(4.3)。对于，我们使用(4.5)得到
因此，通过选择
足够小，我们可以用引理2.6得到
就这样。由于只依赖于and，所以可以在and上迭代上述实参。这表明在有限次迭代之后，在整个-空间上有(1.1)的唯一性。
下载原文档：https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/s10884-023-10295-x.pdf
