通过考虑动力系统观测器的思想和概念，证明了相对半动力系统是一个合适的模型，可以将观测器作为现实事实插入到系统理论中。考虑了多维观测器及其对半动力系统的影响。引入了局部可分辨半动力系统，并证明了这一性质在相对共轭关系下保持不变。考虑了在紧致相对拓扑空间上相对半动力系统中观测器相对拓扑熵的作用。
状态空间和可观测对象是系统理论的两个重点，它们在控制理论和量子物理的现实模型中具有重要的作用。在可观察系统的情况下，人们可以通过其输出来确定初始状态来反转时间[11,13,14,15,17,18,20]。
在系统理论中还有一个概念叫做"观察者"这个概念以数值方式确定状态空间中对象的不同属性。观察者的第一次出现是在2002年考虑Chang的模糊拓扑空间的扩展[1](参见[16])。这个概念在2004年通过插入状态空间对象的一个属性被应用于半动力系统理论[8]。后来，这类观测者在2009年被称为“一维观测者”，并引入了多维观测者[11]。有趣的是，2010年提出的犹豫模糊集[19]正是2009年提出的有限维的多维观测器[11]。
在许多物理系统中，观察者以一种自然的方式出现。例如，蔡氏二极管由两个线性电容()，一个线性电感(L)，两个线性电阻()和分段线性负电阻(见[3,22])组成，决定了系统，与
其中f是分段线性特征。该系统的时间一图是一个动力系统，其驱动系统的时间一图是一个依赖于观测器的动力系统，我们称这种系统为“相对动力系统”。实际上，蔡氏二极管的驱动系统具有，其中，和是两个函数，从区间[0,1]，是一个常数。
本文的组织结构如下:首先，给出了本文的研究动机。在下一节中，我们回顾了观察者的定义，并考虑了它在系统理论中的作用。在第3节中，我们考虑相对半动力系统。第5节考虑了可分辨点和局部可分辨半动力系统，并证明了在相对共轭关系下，局部可分辨半动力系统是守恒的，而这种共轭关系是守恒观测器的。最后，考虑了相对拓扑熵作为观测器在系统理论中的应用。
在第一步上，本作品的动机与作品相似[12]。然而，事实上，我们更进一步提出了关于动态系统的观察者和可观察性之间关系的问题。更确切地说，众所周知，当一台被广泛理解的计算机用有限十进制展开表示一个数字时，它没有任何误差，但当一个数字有无限展开的十进制部分时，就会出现误差。然后，可以得出结论，在计算机上进行的数值计算的精度达到了一定的观察者。所以，问题是如何使这个观察者消失。考虑到实际上我们使用的是小数部分，我们很自然地将自己限制在区间(0,1)内，并考虑计算机器的数值计算，直到函数定义为
（1)
其中为机号集合。这样定义的函数可以称为函数观察者。
人们可以在许多物理系统中看到观察者的踪迹。例如，考虑描述为(见[2])的统一混沌系统:
（2）
作为观察者确定不同的物理系统。事实上，在这种情况下，我们有洛伦兹系统[6];在这种情况下，我们有Lü和Chen系统[7];在这种情况下，我们有陈系统[7]。
现在，问题是这样的:这个观察者如何影响通常的数学概念，比如拓扑和动力学概念?例如，对于观察者来说连续性是什么意思?对于观察者来说动力系统是什么意思?或者对于观察者来说混沌行为是什么意思?
由于模糊集与观察者的想法严格相关，在开始时，我们回忆一些关于这些集合的想法和事实。要了解更多细节，请参见[5,23]。
设X是一个非空集合。回想一下，一个完全分配格是指一个完全格L，它对于任何双索引的L族都成立
对于选择函数集合F，为每个指标选择某个指标，[4]。
那么，任何映射都是一个模糊集。注意，由(1)给出的观测器函数的定义意味着它是一个模糊集。事实上，模糊集和观察者之间是有区别的。由以下观察可知:用一个同构的完全分配格代替完全分配格L，得到一个与前一个完全分配格没有区别的模糊集。但是两个同构的完全分配格可能有不同的含义:在真实的二维空间中考虑正方形，在真实的三维空间中考虑立方体就足够了。这些完全分配格是同构的，但在物理上，它们是完全不同的。
假设I是一个基数为n的非空索引集。注意n可以是有限的也可以是无限的。
[12]集合X的n维观测器或多维观测器是一个映射
（3）
从定义1可以得出，一个n维观察者决定给定对象的n个属性。同样，如果I是一个有限集，则得到的多维观测器是一个犹豫模糊集(见[19])。
设X是一个非空集合。考虑一个映射和一个子集。然后，可以将相对概率度量(见[5])定义为地图
（4）
(注意它是一个新的n维观察者)定义为
其中是映射。事实上，映射f定义了一个半动力学系统。
假设这是一个概率空间，概率测度是m，代数是。此外，假设f是一个遍历映射。脚注1对于给定，我们有，其中是E的特征函数。
这个等式来自Birkhoff遍历定理(见[21])。
在量子力学中，有一个概念叫做可观测。事实上，一个可观测对象是实数集合上的Borel概率测度(见[5])。可见性意味着不同于观察者的东西;详见[13]。
[12]让我们成为一个团体。一个可观察对象，直到一个观察者和一个动力系统，都是这个集合的成员
（5）
注意，在这种情况下，是特征函数，每一个都是遍历映射，那么集合(5)包含所有真实的概率度量，实际上它们是量子力学中可观察的对象。
让
（6）
其中和由(3)给出，对于给定i，和是非空集合x的一维观察者。这些映射的和的操作分别由
并且，X的n维观察者集合上的包含关系定义为:
对所有和。
与[11]类似，对于集合X的(6)给出的每个观测器，可以将一个-拓扑(或n维相对拓扑)关联为满足以下公理的子集的集合:
(i)
，何处为众人;
(2)
如果;
(3)
如果是一族，那么，其中F是任意一族。
集合中的元素称为-open观察者(或相对开放观察者)。这个三元体称为相对拓扑空间。
如果，则相对于的补集是n维观察者，其中对映射的值进行操作“”。如果，则称其为非封闭观察者。
一个全闭观测器可以通过取全闭集合上的交集来构造。这样构造的观察者，用表示，称为观察者的闭包。所有开集上的并集，使得一个开集是观察者[11]。这个观察者将被表示为。
[12]从相对拓扑空间到相对拓扑空间的映射称为相对连续映射(或-连续映射)，如果
（7）
对所有人来说。
我们用。如果一个相对连续映射f是一个双射，并且也是一个相对连续映射，那么f就是一个相对同胚。
[11]假设和是两个相对拓扑空间，是与的-连续映射。那么，它是一个-闭观察者，那么它是一个-闭观察者。
现在，我们给出了由相对连续映射生成的相对半动力系统的定义。
假设是一个相对拓扑空间。如果一个映射是连续映射，则称其为相对半动力系统。
假设C是复数的集合，是映射
对于给定，我们定义为
这个集合是一个拓扑。我们定义一个相对半动力系统为
因为和，所以h是-连续的。
摘要
1 介绍
2 动机
3.观察者的数学模型
4 从观察者的角度看半动力系统
5 的点
6 的应用
\μ(\ \)观察人士
7 结论
笔记
参考文献
致谢
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设p为相对半动力系统的不动点。
设(3)点p称为sink，如果存在这样的点
其中是恒等映射，表示映射f的n-folt复合。
在例2的假设下，点(0,0)是h的汇聚点，因为
如果p和q是相对拓扑空间上相对半动力系统f的两个不同的汇，那么它们是可区分的。
只要证明存在这样的……就足够了。如果，那么论点是显而易见的。假设。在这种情况下，推理与[12]中提出的推理类似。也就是说，因为p是一个汇聚点，所以它是一个不动点，并且存在这样的
设q是另一个这样的sink。假设。然后，意味着
这与。因此,
设f为相对拓扑空间上的一个相对半动力系统。
对于相对的半动力系统，如果存在这样的情况，两个不同的点可以说是可由观察者区分的。在另一种情况下，这些点是无法区分的。而且，如果，那么我们说p和它自己是不可区分的。
不难看出，不可区分关系就是等价关系。
相对半动力系统对于观察者来说是局部可分辨的，如果存在这样的条件，对于每一个都存在这样的条件
粗略地说，一个半动力系统相对于一个观测器是局部可分辨的，如果每个系统都可以通过使用系统轨迹保持在p附近来相对于一个观测器与它的邻居区分开来。
令和为X的特征函数，即。对于给定的自然数n, m, k, l，我们定义函数如下:
（8）
参数n, m, k, l所选值的函数(8)图如图1所示。还要注意，该集合是一个相对拓扑。则定义的映射是一个相对半动力系统。不难观察到，f在每个sink上是局部可区分的。
图1
的图形分别用红、蓝、绿三种颜色表示
在相对拓扑空间上的两个相对半动力系统f和g，如果存在-同胚，则称为-共轭系统，使得下图可以交换
(9)
由式(9)可知，它是半动力系统f的观测器，则它也是半动力系统g的观测器，反之亦然。此外，如果半动力系统f是局部可观测的，那么系统g也是，反之亦然。
假设两个相对的半动力系统在-同胚下是-共轭的。点p是f的汇聚点，当且仅当它是g的汇聚点。
”“汇的定义意味着存在这样的
（10）
让。然后,
（11）
因此,
（12）
因为，那么前一个等式意味着它是g的汇聚点。
”“既然是地图g的sink，那么有这样的(10)成立。然后，(11)和(12)也保持不变。
假设两个相对的半动力系统和在-同胚下是-共轭的。半动力系统f局部可分辨当且仅当半动力系统g局部可分辨。
假设f是局部可分辨的，那么对于每一个，有这样的，如果我们取，那么当，我们有，因为。因此，有这样的
自
那么g是局部可分辨的。证明逆命题的方法是相似的。
如果每个相对开放覆盖具有有限相对开放子覆盖，则一个相对拓扑空间被称为紧致相对拓扑空间。
[11]如果是紧致相对拓扑空间，并且是上相对连续映射，则是紧致相对拓扑空间。
让我们做一个旁观者。为紧致相对拓扑空间，为的相对开盖。
[11]相对覆盖的相对拓扑熵定义为
式中表示可作为的相对子覆盖的集合的最小基数。
相对开盖族的细化，
相对预约保险的定义是
[11]如果是一个相对半动力系统，并且对于观测者来说是一个相对开盖，则
是一个相对开放的掩护。此外,
的存在。
相对半动力系统f相对于观测器的相对开盖的相对熵定义为
f的相对拓扑熵定义为
可以证明，在-共轭关系下，相对拓扑熵是一个不变对象(见[11])。
让我们定义观察者为
如果用，那么我们定义用
该集合是一个相对拓扑。因此，相对拓扑[0,1]是一个紧致的相对拓扑空间。定义的映射
是一个相对的半动力系统。为了找到它的相对拓扑熵，我们取
我们看到，对于给定的[0,1]的相对开盖，存在这样的存在:的每个给定的成员都是的成员的子集。因此,
已经考虑了观察者的模型。对于相对半动力系统的混沌行为，引入了相对拓扑熵的概念。事实上，如果一个相对半动力系统的相对拓扑熵是正数，那么它就被称为混沌系统。研究了局部可分辨的相对半动力系统，证明了在保护观测器的相对共轭关系下，系统的局部可分辨性是保持的。从相对拓扑熵的角度说明了-观测器在动力系统理论中的作用。
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